Funktionalanalysis
Funktionalanalysis
Funktionalanalysis behandelt Fragen der Analysis (wie Lösungen von Differentialgleichungen, Integralgleichungen, Approximation durch "einfache" Funktionen) mit algebraischen, topologischen und geometrischen Methoden. Am Fachbereich wird speziell gearbeitet über:
- lokale Banachraumtheorie
- Operatoren in Banachräumen
- Tensorproduktmethoden
- Frécheträume
- M-Ideale
- Distributionentheorie
- Partielle Differentialgleichungen
A. Defant
K. Floret
Dr. Peter Harmand
M. Langenbruch
Komplexe Analysis
Die Komplexe Analysis beschäftigt sich mit holomorphen Funktionen in mehreren Veränderlichen, bzw. auf komplexen Mannigfaltigkeiten oder komplexen Räumen. Neu in der mehrdimensionalen Theorie ist das Phänomen, daß es Gebiete gibt, so daß jede dort holomorphe Funktion automatisch in ein echt größeres Gebiet holomorph fortsetzbar ist. Dies führt zu Begriffen wie Holomorphiegebiet und Holomorphiehülle. Ebenfalls neu ist, daß es kein Modellgebiet wie beim Riemann'schen Abbildungssatz in der Ebene gibt. Das Studium biholomorpher Äquivalenz führt zu den invarianten Pseudometriken bzw. Pseudodistanzen.
Zur Bearbeitung vorliegender Fragen werden unter anderem Informationen aus Gebieten wie Analysis, Topologie, Algebra, Funktionalanalysis, partielle Differentialgleichungen benutzt.
Seit 1981 besteht eine intensive Zusammenarbeit mit der Gruppe "Komplexe Analysis" der Jagellonen Universität Krakau (Prof. Dr. M. Jarnicki).
Funktionentheorie
Die Funktionentheorie ist die Untersuchung komplexwertiger Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit Methoden der Analysis. Viele Phänomene, die bei rein reeller Sichtweise unverständlich sind oder ganz verborgen bleiben finden durch diese Betrachtungsweise erst eine adäquate Erklärung.
Die Funktionentheorie hat seit ihrer Begründung durch Cauchy und Riemann nichts an Aktualität verloren. Heute besteht sie aus vielen Teildisziplinen, die von anwendungsnahen Untersuchungen (z. B. fraktale Geometrie) bis zu theoretischen Forschungsansätzen mit Berührungen zu vielen anderen mathematischen Fragestellungen (z. B. aus der Funktionalanalysis) reichen.
Partielle Differentialgleichungen
Die Beschreibung naturwissenschaftlicher (insbesondere physikalischer) Phänomene führt häufig zu partiellen Differentialgleichungen. Wichtige Hilfsmittel zur Behandlung dieser Gleichungen sind Distributionentheorie, Funktionalanalysis und Funktionentheorie. Am Fachbereich wird speziell gearbeitet über:
Distributionentheorie, Elementarlösungen, Lösungsoperatoren, Singularitäten.
M. Langenbruch